Actividad Nº 3 ..Hipérbola

Hipérbola

* Una Hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos putnos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

Tipos y Características

Tipos:

 2 Hipérbolas (Eje Horizontal) y (Eje Vertical)

Identificación:
1) Aparecen las 2 Variables, éstas elevadas al cuadrado, pero con signos contrarios.

2)Segundo miembro =1

3)El eje sobre el cual se encuentra la hipérbola se determina por el denominador en el que se encuentra "a" y el signo positivo. Ejemplo si la x (positiva) está sobre a. Entonces el eje de la hipérbola es horizontal.

Centro en (h,k):

Canónicas:

Características:

- Para construir la ecuación de una hipérbola se necesita el centro de la misma y  2 vertices
- Elementos:

Ecuación General:

¿Cómo pasar de E.G a la Canónica? 

1)Pasamos el término independiente al segundo miembro de la ecuación.

2)Agrupamos los términos de X y los términos de Y.
3)Saco factor común de los términos que están elevadoas al cuadrado.

4)Realizamos la completación de cuadrado, sin olvidarnos de colocar el nuevo término en el segundo miembro.

5)Dividimos todos los términos de la ecuación entre el el término que tenemos en el segundo miembro, de tal manera que la ecuación quede igualada a 1.
6) Al realizar todos estos pasos obtenemos la ecuación canónica.

Teoremas

La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal coincidente con el eje x, y focos los puntos (c,0) y (-c,0) es: 

Si el eje focal coincidente con el eje y, de manera que las coordenadas de los focos sean (0,c) y (0,-c), entonces la ecuación es:

Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado, c la distancia del centro a cada foco, y a,b y c están ligados por la relación:

También, para cada hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: 

(2b"al cuadrado" Sobre a)

y la excentricidad es e=c/a > 1.

 

 ¿Cómo paso de canónica a general?

1)Sacamos m.c.m.
2)Igualamos a cero.
3)Resolvemos los Prodructos Notables.

Ejercicios "tipos"

Procedimiento: Realizamos el mismo procedimiento aplicado de ecuación General a Canónica:

Ejemplo: Hallar los vértices y el centro de la hipérbola

Para graficar:Primero ubicamos el centro de la Hipérbola, y a partir de éste podremos ubicar los vértices, como en este ejercicio el signo positivo acompaña al producto notable de "Y", debemos ubicar los vertices paralelos al eje "Y" de nuestra gráfica. La ubicación de dichos vertices, se realiza sumando o restando el valor de la variable a, al término "Y", del Punto ya ubicado (centro); ya que "X" es constante para todos.

Ejemplo: C (-4,2) ---> V (-4, 2+2)= (-4,4)

                         ---> V'  (-4, 2-2)= (-4,0)

El valor de la variable b, lo sumamos o restamos con el término que se encuentra en "X" del centro, (-4, en este caso).

Ejemplo: v1 (-4+3, 2)= (-1,2)

             v1' (-4-3, 2)= (-7,2)

Teniendo el centro y los vèrtices, podemos construir nuestra gráfica de hipèrbola.

Hipérbola Vertical

 

Errores Comunes:

-Mal despeje.

-Mala indentificación de los elementos; o del eje de coordenadas.

-Equivocarnos en el sentido de la hipérbola o en su dirección. 

-Realizar mal la suma o resta de fracciones.

-No realizar correctamente el producto notable.

Referencia a Contenidos de base que deben recordarse para la realización de los contenidos actuales

* Productos Notables.

* Suma y resta de fracciones.

* Ecuaciones de 2do grado.

* Raíces y Racionalización.

* Geometría Analítica (Ecuación de la recta, distancia punto-punto, distancia de un punto a una recta, entre otros)